#305. 岛屿数量 II

• LeetCode：原题1
• 难度：困难
• 归类：栈/队列/哈希（并查集、数组、哈希表）
• 主解法：并查集

#先给结论

这道题的核心是用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。面试时先说清楚“状态表示什么、为什么能排除其他候选、何时更新答案”，再写代码；只报出“用 并查集”还不足以证明理解。

#题目描述

题目要求完成“岛屿数量 II”。输入包括 m（integer）、n（integer）、positions（integer[][]），需要返回 list<integer>。完整限制以原题为准，解题时重点利用这些特征：并查集、数组、哈希表。

示例：

输入：3
3
[[0,0],[0,1],[1,2],[2,1]]
1
输出：以原题为准

#问题本质

用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。需要解决的不是某个 API 的用法，而是如何用最少状态描述“已经处理什么、还剩什么”，并证明状态推进不会漏解。

#数据结构与因果链

1. 输入进入算法后，先建立 并查集 所需的状态。
2. parent 表示代表元关系，size 或 rank 记录合并时的结构信息。
3. 对需要连通的元素执行 union，查询关系时先 find 到各自根节点。
4. 满足终止条件后，把已经验证的状态转换成输出。

始终保持：同一集合中的元素最终拥有相同根节点，根节点的 parent 指向自身。

#示例推演

输入：3
3
[[0,0],[0,1],[1,2],[2,1]]
1
输出：以原题为准

#边界与陷阱

• 空输入、单元素、重复元素以及不存在合法答案时，要有明确返回值。
• 最容易错在没有路径压缩、合并根节点时方向写反，以及连通块计数更新错误。
• 如果实现会修改输入，面试时要主动说明；如果不能修改，则复制数据或改用额外结构。

#代码实现

参考实现来源：JoshCrozier/leetcode-javascript，按本文结构重新整理；原项目采用 MIT License。

#JavaScript 实现

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @param {number[][]} positions
 * @return {number[]}
 */
var numIslands2 = function(m, n, positions) {
  const parent = new Map();
  const rank = new Map();
  const result = [];
  const directions = [[-1, 0], [1, 0], [0, -1], [0, 1]];
  let islandCount = 0;

  for (const [row, col] of positions) {
    const current = row * n + col;
    if (parent.has(current)) {
      result.push(islandCount);
      continue;
    }
    islandCount++;
    parent.set(current, current);
    rank.set(current, 0);

    for (const [dr, dc] of directions) {
      const newRow = row + dr;
      const newCol = col + dc;
      if (newRow >= 0 && newRow < m && newCol >= 0 && newCol < n) {
        const neighbor = newRow * n + newCol;
        if (parent.has(neighbor)) {
          union(current, neighbor);
        }
      }
    }
    result.push(islandCount);
  }

  return result;

  function find(node) {
    if (!parent.has(node)) {
      parent.set(node, node);
      rank.set(node, 0);
    }
    if (parent.get(node) !== node) {
      parent.set(node, find(parent.get(node)));
    }
    return parent.get(node);
  }

  function union(node1, node2) {
    const root1 = find(node1);
    const root2 = find(node2);
    if (root1 === root2) return;
    const rank1 = rank.get(root1);
    const rank2 = rank.get(root2);
    if (rank1 < rank2) {
      parent.set(root1, root2);
    } else if (rank1 > rank2) {
      parent.set(root2, root1);
    } else {
      parent.set(root2, root1);
      rank.set(root1, rank1 + 1);
    }
    islandCount--;
  }
};

#代码与思路对照

读代码时应把每个判断还原成“它排除了什么状态或完成了哪次转移”，而不是只记变量名。

#复杂度分析

• 时间复杂度：O(k × \alpha(m × n)) 或 O(k × log(m × n))，其中 k 是 positions 的长度，而 \alpha 是阿克曼函数的反函数，本题中 \alpha(m × n) 可以认为是一个很小的常数。
• 空间复杂度：由辅助数据结构或递归深度决定。

复杂度必须按“状态数量 × 每个状态处理成本”分析；如果存在排序、堆操作、递归深度或结果数组，需要单独计入，不能只看最外层循环。

#面试官递进追问

#1. 为什么本题适合 并查集？

因为用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。 为什么问： 检查你是在识别性质，还是只凭题号背模板。回答要抓住可被利用的单调性、重复子问题或数据结构约束。

#2. 代码维护的核心状态是什么？

parent 表示代表元关系，size 或 rank 记录合并时的结构信息。 为什么问： 状态定义决定代码是否可证明。回答时要让每个变量都能对应到题意。

#3. 这个实现依赖什么不变量？

同一集合中的元素最终拥有相同根节点，根节点的 parent 指向自身。 为什么问： 不变量比逐行复述代码更能证明理解，回答要说明它在初始化、推进和结束时都成立。

#4. 为什么这样推进不会漏掉答案？

对需要连通的元素执行 union，查询关系时先 find 到各自根节点，被跳过的状态已经由题目性质证明不可能更优或已经处理完成。 为什么问： 检查正确性证明，重点不是“指针这样写”，而是“为什么可以排除”。

#5. 最危险的边界是什么？

最容易错在没有路径压缩、合并根节点时方向写反，以及连通块计数更新错误。 为什么问： 检查代码能否一次通过，回答要给出具体失败场景而不是只说“注意边界”。

#6. 复杂度还能优化吗？

先看瓶颈来自状态数量、每次转移成本还是辅助结构操作；只有其中一项能被减少时，复杂度才可能继续下降。 为什么问： 检查你能否从成本组成出发优化，而不是机械背最优复杂度。

#7. 如果输入规模扩大或数据改成流式，方案怎么变？

要判断当前算法是否需要随机访问全部输入；若只依赖有限历史状态，可以做滚动或在线维护，否则需要分块、外存或调整数据结构。 为什么问： 检查算法理解能否迁移到工程约束。

#8. 有哪些替代解法，如何取舍？

可以从暴力枚举开始，再比较排序、哈希、搜索或动态规划等方案；取舍标准是时间、空间、是否修改输入和实现复杂度。 为什么问： 检查横向比较能力。回答要说明替代方案为什么更慢或在什么条件下更合适。

#常见错误回答

• “这题套 并查集 模板即可”：只有结论，没有说明题目性质和排除依据。
• 逐行朗读代码：没有建立状态、不变量和正确性因果链。
• 只报 O(n) 或 O(n²)：没有解释每个状态被访问多少次，也容易漏掉排序或辅助结构。
• 把示例能跑通当成证明：示例只能帮助检查，不能覆盖重复值、空输入和极端边界。

#可迁移总结

• 核心关键词：并查集、状态定义、不变量、推进规则、边界。
• 一句话本质：用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。
• 思考链路：识别题目性质 → 定义状态 → 证明推进安全 → 确定更新时机 → 检查边界与复杂度。
• 1 分钟回答：说清题型、核心状态、推进规则和复杂度。
• 3 分钟回答：补上正确性依据、示例和两个关键边界。
• 10 分钟回答：写出代码，并比较替代方案、空间优化和工程限制。

#刷题后自测

先只回答第 1 题，再展开后续问题：

1. 不看代码，你能用一句话说出本题的不变量吗？

2. 如果把示例中的重复值、空输入或边界值换掉，哪一行代码最先受到影响？

3. 不改变正确性的前提下，你能写出一种替代方案并比较复杂度吗？